Pembahasan Soal-Soal Turunan

PEMBAHASAN SOAL-SOAL TURUNAN

Berikut ini adalah pembahasan soal-soal matematika sma tentang turunan atau differensial. Soal-soal yang diambil berasal dari soal-soal ujian nasional baik program IPA atau IPS serta soal lainnya. Mudah-mudahan pembahasan soal ini dapat bermanfaat buat yang membutuhkan, khususnya siswa. Pembahasan soal ini dapat digunakan untuk bahan belajar dalam menghadapi ulangan harian, UTS, UAS, UKK, Ujian Nasional, Ujian Sekolah, TO/PRA UN, dan ujian lainnya. Berikut adalah pembahasan soal-soalnya.

Nomor 1 (UN IPS 2014)

Turunan pertama dari fungsi fx adalah f ' (x). Jika fx = 3x³ – 4x + 6, maka nilai dari f ' (2) = ...

A. 22

B. 32

C. 38

D. 42

E. 48

Pembahasan

Terlebih dahulu tentukan f ' (x)

f '(x) = 3 . 3 x^{3 - 1} – 4 . 1 x^{1 - 1} + 0

f '(x) = 9 x² – 4

Mencari f '(2)

f '(2) = 9 x² – 4 = 9 . 2² – 4 = 9 . 4 - 4 = 32

Jawaban: B

Nomor 2

Fungsi fx ditentukan oleh fx = x³ + 3x² - 5x + 1 dan f '(x) adalah turunan dari fx. Nilai dari f '(1) adalah...

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 14

Pembahasan

Terlebih dahulu tentukan f '(x)

f '(x) = 1. 3 x^{3 - 1} + 3 . 2 x^{2 - 1} - 5 . 1 x^{1 - 1} + 0

f '(x) = 3 x² + 6 x - 5

Hitung nilai f '(1)

f '(1) = 3 . 1² + 6 . 1 - 5 = 4

Jawaban: B

Nomor 3 

Jika f(x) = (x + 1) (x - 3) maka f '(x) = ....

A. x - 3

B. x + 1

C. 2x - 2

D. 3x + 1

E. 3x

Pembahasan:

Misalkan:

U = x + 1 maka U ' = 1 . 1x^{1 - 1} + 0 = 1

V = x - 3 maka V ' = 1 . 1x^{1 - 1} - 0 = 1

Sehingga

f '(x) = U ' . V + U . V '

f '(x) = 1 . (x - 3) + (x + 1) . 1

f '(x) = 2x - 2

Jawaban: C

Nomor 4

Jika fx = (3x² - 5x) / (x - 3) maka f '(x) = ...

A. 3x² - 5x

B. x - 3

C. (x² - 6x) / (x - 3)² 

D. (3x² - 26x) / (x - 3)² 

E.  (3x² + 26x) / (x - 3)² 

Pembahasan

Misalkan:

U = 3x² - 5x maka U ' = 3 . 2 x - 5 = 6 x - 5

V = x - 3 maka V ' = 1

f '(x) = U ' . V - U . V ' / V²

f ' (x) = (6x - 5) (x - 3) - (3x² - 5x) . 1 / (x - 3)²
f '(x) = 6x² - 18x - 5x + 15 - 3x² + 5x / (x - 3)²

f '(x) = (3x² - 26x) / (x - 3)² 

Jawaban: D

Nomor 5 (UN 2014)

Suatu pabrik sepatu memproduksi x sepatu setiap harinya dengan biaya produksi 3x - 180 + (3000/x) ribu rupiah per pasang. Biaya total minimum perhari adalah...

A. Rp. 450.000

B. Rp. 300.000

C. Rp. 152.000

D. Rp.62.000

E. Rp. 10.000

Pembahasan
fx = 3x - 180 + (3000/x) = 3x² - 180x + 3000
f '(x) = 6x - 180 + 0 = 6x -180
Untuk menentukan nilai minimum gunakan f '(x) = 0
6x - 180 = 0 maka 6x = 180 atau x = 180 / 6 = 30
Subtitusikan nilai x = 30 ke persamaan fx
fx = 3 . 30 - 180 + 3000 / 30
fx = 90 - 180 + 100 = 10 ribu rupiah
Jawaban: E

Nomor 6 (UN 2014)
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t ditentukan oleh fungsi s (t) = 3t² - 24t + 5. Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada t = ...
A. 6 detik
B. 4 detik
C. 3 detik
D. 2 detik
E. 1 detik

Pembahasan
s (t) = 3t² - 24t + 5 maka untuk menentukan kecepatan maksimum turunkan persamaan tersebut
s '(t) = 6 t - 24 = 0
6 t = 24 
t = 24 / 6 = 4 detik
Jawaban: B

Nomor 7
Hasil penjualan x unit barang perbulan dinyatakan dengan fungsi g(x) = 38.000 + 200 x - 5x² (dalam ribuan rupiah). Hasil penjualan maksimum perbulan adalah...
A. Rp. 20.000.000
B. Rp. 30.000.000
C. Rp. 40.000.000
D. Rp. 50.000.000
E. Rp. 60.000.000

Pembahasan
Untuk menentukan nilai maksimum gunakan g '(x) = 0
g '(x) = 0 + 200 - 10 x = 0 sehingga 200 = 10 x
x = 200 / 10 = 20
Subtitusikan nilai x ke persamaan g (x)
g (x) = 38.000 + 200 (20) - 5 . 20² 
g(x) = 38.000 + 4.000 - 2000
g(x) = 40.000
Jawaban: C

Nomor 8
Persamaan garis singgung kurva y = x² – 6x + 3 yang melewati titik (1,2) adalah...
A. y = 3x - 1
B. y = 2x - 1
C. y = x - 2
D. y = x - 1
E. y = x

Pembahasan
Terlebih dahulu tentukan gradien garis singgung (m = y ')
m = y ' = 2x - 6 + 0 = 0 sehingga 2x - 6 = 0 atau x = 6 / 2 = 3
Persamaan garis singgung
y - y1 = m (x - x1)
y - 2 = 3 (x - 1)
y - 2 = 3x - 3
y = 3x - 3 + 2 = 3x - 1
Jawaban: A

Nomor 9
Fungsi y = x³ + 3x² - 8x + 1 naik pada interval....
A. x < 2 atau x < -4 
B. x < 2 atau x > -4
C. x > 2 atau x < -4
D. x > 2 atau x > -4
E. x = 2

Pembahasan
Gunakan syarat fungsi naik y ' > 0
3x² + 6 x - 8 + 0 > 0  dibagi 3
x² + 2 x - 8 > 0

(x - 2) (x + 4) > 0

x = 2 dan x = -4

Menentukan fungsi naik

x = 2 (ambil nilai setelah 2 yaitu 3 (x = 3) kemudian masukkan ke persamaan y ')

x² + 2 x - 8 sehingga 3² + 2 . 3 - 8 = 7 (hasilnya lebih besar dari 0, artinya x = 2 naik setelah 2 atau x > 2)

x = -4 (ambil nilai setelah -4 yaitu -3 (x = -3) kemudian masukkan ke persamaan y ')

x² + 2 x - 8 sehingga (-3)² + 2 (-3) - 8 = -5 (hasilnya lebih kecil dari 0, artinya x = -4 naik sebelum -4 atau x < -4

Jadi interval fungsi naik x > 2 atau x < -4

Jawaban: C

Nomor 10

Fungsi y = x³ + 3x² - 8x + 1 turun pada interval....
A. x < 2 atau x < -4 
B. x < 2 atau x > -4
C. x > 2 atau x < -4
D. x > 2 atau x > -4
E. x = 2

Pembahasan
Gunakan syarat fungsi turun y ' < 0
3x² + 6 x - 8 + 0 < 0  dibagi 3
x² + 2 x - 8 < 0

(x - 2) (x + 4) < 0

x = 2 dan x = -4

Menentukan fungsi turun

x = 2 (ambil nilai sebelum 2 yaitu 1 (x = 1) kemudian masukkan ke persamaan y ')

x² + 2 x - 8 sehingga 1² + 2 . 1 - 8 = -5 (hasilnya lebih kecil dari 0, artinya x = 2 turun sebelum 2 atau x < 2)

x = -4 (ambil nilai sebelum -4 yaitu -5 (x = -5) kemudian masukkan ke persamaan y ')

x² + 2 x - 8 sehingga (-5)² + 2 (-5) - 8 = 7 (hasilnya lebih dari 0, artinya x = -4 turun setelah -4 atau x > -4

Jadi interval fungsi turun x < 2 atau x > -4

Jawaban: B

rumus perkalian dan pembagian fungsi turunan

 Perkalian

f'(x)=u(x).v'(x)+u'(x).v(x)


contoh soal:
1. tentukan Y' dari

Y= (2x²+x)(4x+1)

Jawab:

U=2x²+x

U’=4x+1

V=4x+1

V’=4

Y’=U’V+UV’

Y’=(4X+1)(4x+1)+(2x²+x)(4)

Y’=(16x²+4x+4x+1)+(8x²+4x)

Y’=24x²+12x+1

Pembagian

Jika kita memiliki persamaan y= f(x)/g(x), dengan f(x), g(x) memiliki satu variabel linear; atau dapat kita tulis y=(ax + b)/(cx+d), maka untuk mendapatkan nilai turunannya adalah kita biasa memisalkan ax+b=u dan cx+d=v, sehingga kita mendapatkan nilai turunan sebagai berikut;

contoh :tentukan turunan dari

Jawab:

Cukup panjang. Bagaimana cara cepatnya?

Ok. Coba Perhatikan.

“Koefisien (a) pada fungsi pembilang dikalikan dengan konstan pada fungsi penyebut dikurangi dengan Koefisien (c) pada fungsi penyebut dikalikan dengan konstan pada fungsi pembilang, lalu dibagi dengan fungsi penyebut kuadrat.”

Dari contoh di atas, maka

Singkat sekali bukan? Dan bisa digunakan untuk menghitung turunan tanpa kertas (dengan membayangkan).